La loi binomiale est à présent aux programmes de terminale pour la spécialité mathématiques et pour l’option mathématiques complémentaires.
Ce chapitre, conceptuel par excellence, souvent présent dans l’épreuve terminale du baccalauréat, nécessite peu de calculs mais beaucoup de compréhension et de rédaction. Il fait, en outre, appel à plusieurs notions vues en classe de 1ère spécialité mathématiques.
Sommaire
Voyons en premier lieu 2 concepts importants vus en 1ère spécialité mathématiques nécessaires à la compréhension de la loi binomiale :
Si ces concepts te sont déjà familiers, en voici 2 nouveaux :
Et enfin :
Besoin d’aide pour t’entraîner sur ce type d’exercice ? Nous t’invitons à venir, par exemple, à nos stages de mathématiques pendant les vacances d’hiver.
Concept de variable aléatoire
Une variable aléatoire, généralement nommée par une lettre capitale X est le procédé qui associe un événement à un nombre.
Cela ressemble un peu aux fonctions :
X : \text{événement} \to \text{nombre}Par exemple, tirer une boule rouge dans une urne est un événement mais pas un nombre. Mais si l’énoncé stipule qu’une boule rouge rapporte 10 points, une boule noire 20 points et une boule verte -10 points, nous avons alors affaire à une variable aléatoire qui compte le nombre de points obtenus en tirant une boule dans une urne :
- X : \text{rouge} \to \text{10}
- X : \text{noire} \to \text{20}
- X : \text{verte} \to \text{-10}
Concept de loi de probabilité
Reprenons notre exemple, nous tirons au hasard une boule dans une urne qui contient :
- 2 rouges rapportant 10 points
- 1 noire qui en rapporte 20
- 3 vertes qui enlèvent 10 points (ou rapportent -10 points).
X est la loi de probabilité qui compte le nombre de points obtenus lors du tirage.
X peut donc prendre les valeurs 10, 20 et -10.
En classe de première, le résultat est donné sous forme d’un tableau – ci-dessous – dans lequel les xi sont les valeurs possibles de la variable aléatoire X et les pi les probabilités correspondantes.
| x_i | 10 | 20 | -10 |
| p_i | \tfrac{2}{6} | \tfrac{1}{6} | \tfrac{3}{6} |
Une épreuve de Bernoulli
Derrière ce nom impressionnant se cache une expérience aléatoire sous sa forme la plus simple !
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire comportant 2 issues, l’une d’elles s’appelle Succès (S) et l’autre Échec (\overline{S}).
Le schéma ci-dessous est l’illustration d’une épreuve de Bernoulli où la probabilité de succès est notée p.
Un schéma de Bernoulli
Le schéma de Bernoulli ci-dessous est obtenu par 3 répétitions de la même épreuve de Bernoulli :
Suivons chacun des chemins proposés par ce schéma de Bernoulli. Le chemin tout en haut permet d’obtenir l’issue SSS (3 succès de suite) avec la probabilité p \times p \times p (il suffit de multiplier les probabilités des branches parcourues). Le chemin immédiatement en dessous nous donne l’issue SS\bar{S} dont la probabilité sera p \times p \times (1-p).
Nous listons dans le tableau ci-dessous toutes les issues possibles et leur probabilité associée, il suffit de multiplier les branches de chaque chemin pour les retrouver :
| issue | probabilité |
|---|---|
| SSS | p^3 |
| SS\bar{S} | p^2(1-p) |
| S\bar{S}S | p^2(1-p) |
| S\bar{S}\bar{S} | p(1-p)^2 |
| \bar{S}SS | p^2(1-p) |
| \bar{S}S\bar{S} | p(1-p)^2 |
| \bar{S}\bar{S}S | p(1-p)^2 |
| \bar{S}\bar{S}\bar{S} | (1-p)^3 |
Et la loi binomiale dans tout cela ? On y arrive peu à peu !
D’abord il nous faut une variable aléatoire. Créons la variable aléatoire X qui à chaque issue associe le nombre de Succès obtenus. Par exemple à l’issue SS\bar{S} on associe la valeur X=2 (2 succès).
Complétons le tableau d’une colonne pour rajouter les valeurs de X (les x_i).
| issue | probabilité | \boldsymbol{x_i} |
|---|---|---|
| SSS | p^3 | 3 |
| SS\bar{S} | p^2(1-p) | 2 |
| S\bar{S}S | p^2(1-p) | 2 |
| S\bar{S}\bar{S} | p(1-p)^2 | 1 |
| \bar{S}SS | p^2(1-p) | 2 |
| \bar{S}S\bar{S} | p(1-p)^2 | 1 |
| \bar{S}\bar{S}S | p(1-p)^2 | 1 |
| \bar{S}\bar{S}\bar{S} | (1-p)^3 | 0 |
A ce stade nous sommes arrivés à réaliser un tableau, dans lequel nous avons mis l’un face de l’autre les valeurs de la variable aléatoire X (les x_i) et les probabilités correspondantes. Nous sommes donc à présent en mesure de déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
Nous voyons dans le tableau ci-dessus que cette variable aléatoire peut prendre les valeurs 3, 2, 1 et 0.
X=3 n’apparaît qu’une seule fois dans le tableau donc sa probabilité est p^3.
X=2 apparaît 3 fois avec la même probabilité p^2 (1-p) donc il suffit de multiplier ce nombre par 3 pour obtenir la probabilité que X prenne la valeur 2 : 3p^2 (1-p).
Nous utiliserons la notation P(X=k) qui représente la probabilité que la variable aléatoire X prenne la valeur k. (Attention à ne pas confondre les grands ‘P‘ de P(X=k) avec le petit ‘p‘ qui est la probabilité de Succès lors d’une seule épreuve de Bernoulli.)
C’est ainsi que nous obtenons la loi de probabilité de X : \begin{cases} P(X=3) = p^3 \\ P(X=2) = 3p^2(1-p) \\ P(X=1) = 3p(1-p)^2 \\ P(X=0) = (1-p)^3 \end{cases}
Faisons l’effort de bien observer ces 4 expressions pour lesquelles nous remarquons une structure commune :
P(X=k) = \text{un nombre entier} \times p^{\text{nombre de succès}} \times (1-p)^{\text{nombre d'échecs}}L’analyse attentive de cette structure va t’aider à retenir la formule de la loi binomiale expliquée ci-dessous.
La loi binomiale
La loi binomiale est la généralisation de cette situation et de cette formule, sans qu’il soit nécessaire de redessiner un schéma de Bernoulli.
En effet on peut raisonnablement dessiner un schéma de Bernoulli lorsqu’il y a 3 répétions de l’épreuve de Bernoulli. Mais cela devient vite impossible s’il y a davantage de répétitions !
Comment rédiger la loi binomiale ?
Pour que la loi binomiale puisse s’appliquer il nous faut :
- répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes dont la probabilité de Succès est p
- une variable aléatoire X compte le nombre de Succès.
On conclut alors :
Donc X suit une loi binomiale de paramètres n et p.
Ce qui en abrégé donne : \boldsymbol{X \sim \textit{B}(n, p)}
La formule de la loi binomiale
Reprenons la structure de l’expression que nous avions remarquée :
P(X=k) = \text{un nombre entier} \times p^{\text{nombre de succès}} \times (1-p)^{\text{nombre d'échecs}}Et faisons le lien avec la vraie formule de la loi binomiale, à apprendre :
\boldsymbol{P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}}Le nombre \binom{n}{k} se dit ‘k parmi n’. Il sert à compter le nombre de chemins ayant k succès dans un schéma de Bernoulli à n répétitions.
Je te fais grâce de la formule de \binom{n}{k}, le plus simple est d’utiliser la fonction appropriée de la calculatrice.
La loi binomiale sur calculatrice
La formule de la loi binomiale est un peu rébarbative. Alors profitons des calculatrices modernes !
Notamment la très pratique – et française – NumWorks : utiliser les flèches pour aller dans le menu ‘Probabilités’. La loi binomiale est la première de la liste. Franchement c’est plutôt intuitif. Sinon ils ont également réalisé d’excellents tutoriels vidéos ; je ne ferais pas mieux !
Si par malheur tu en es resté aux calculatrices américaines ou japonaises, le tableau ci-dessous pourrait t’aider. Difficile de t’en dire davantage, car cela dépend des modèles de calculatrice, de leur ancienneté, de leur langue, etc. Il faut fouiller un peu et faire des essais, chercher d’autres sources sur internet, par exemple ici.
| Sur Texas Instruments | Sur Casio | |
|---|---|---|
| \binom{n}{k} | Dans le menu MATH>PRB la fonction Combinaison | Dans le menu OPTN>PROB la fonction nCr |
| P(X=k) | Dans le menu DISTRIB la fonction binomFdp | Dans le menu STATS>DIST>BINM la fonction Bpd |
| P(X⩽k) | Dans le menu DISTRIB la fonction binomFRép | Dans le menu STATS>DIST>BINM la fonction Bcd |
Un exercice corrigé sur la loi binomiale
Énoncé
25 élèves de terminale passent leur bac avec une probabilité de succès p=0,8.
- Calculer la probabilité que 24 élèves exactement réussissent.
- Quelle est la probabilité que les 25 élèves réussissent ?
- Quelle est la probabilité qu’au moins un élève réussisse ?
Corrigé
-
- Voici comment rédiger. L’épreuve de Bernoulli ‘passer son bac’ est répétée 25 fois de manière identique et indépendante. X est la variable aléatoire comptant le nombre de succès. Donc X suit une loi binomiale de paramètres n=25 et p=0,8.
La probabilité que 24 élèves réussissent, d’après la formule : P(X=24) = \binom{25}{24} \times 0,8^{24} \times 0,2^{1} \simeq 0,024 - Selon la même formule, ou d’après le schéma de Bernoulli : P(X=25) = 0,8^{25} \simeq 0,004
- Nous cherchons ici : P(X \geq 1).
X \geq 1 signifie X = 1 ou X = 2 ou X = 3 ou … ou X = 25.
Nous pourrions faire une grande addition :
P(X \geq 1) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + \dots + P(X=25).
Mais nous préférons considérer l’événement contraire de X \geq 1 qui est X = 0.
Ainsi : P(X \ge 1) = 1 - P(X=0) = 1 - 0,2^{25} \simeq 1
Résumé vidéo : la loi binomiale
FAQ — Loi binomiale
Qu’est-ce que la loi binomiale ?
La loi binomiale calcule la probabilité d’obtenir k succès lors de la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
Comment justifier que X suit une loi binomiale ?
- n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes sont répétées
- X compte le nombre de succès
- Donc X \sim \textit{B}(n,p).
Quelle est la formule de la loi binomiale ?
P(X = k) = \binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{\,n-k}Comment utiliser la loi binomiale sur calculatrice ?
- Sur NumWorks : menu ‘Probabilités’ > ‘Binomiale’.
- Sur Texas Instruments : menu DISTRIB (binomFdp & binomFRép).
- Sur Casio : menu STATS>DIST>BINM (Bpd & Bcd).
Quels exercices sont typiques sur la loi binomiale en Terminale ?
- Justifier l’utilisation de la loi binomiale.
- Calculer P(X=k) pour un k donné.
- Calculer des probabilités cumulées à la calculatrice : P(X\leq k) ou P(X\geq k).
- Utiliser l’évènement contraire pour calculer la probabilité d’obtenir « au moins 1 succès » : P(X \geq 1)=1-P(X = 0).
Tout est-il bien clair ?
Il est fortement recommandé de compléter ces connaissances en effectuant des exercices. Tu peux également venir assister à mes cours de mathématiques en petits groupes. En attendant, n’hésite pas à poser tes questions en commentaires !
Fondateur et professeur aux Cours Thierry, j’enseigne les mathématiques depuis 2002. D’abord comme professeur particulier, à présent j’anime une équipe de professeurs au sein des Cours Thierry afin de proposer un accompagnement scolaire en mathématiques, physique-chimie et français.
- Voici comment rédiger. L’épreuve de Bernoulli ‘passer son bac’ est répétée 25 fois de manière identique et indépendante. X est la variable aléatoire comptant le nombre de succès. Donc X suit une loi binomiale de paramètres n=25 et p=0,8.
